Mes Cours & Fiches de Révision
Prise de notes enrichie par synthèse IA, fiches détaillées et flashcards espacées.
Programme
Langage mathématique & Suites
Ensembles, dénombrement, logique, quantificateurs, techniques de preuve, puis suites numériques et limites.
Penser en économiste
Rareté, coût d'opportunité, les 7 outils du raisonnement, méthode scientifique, et une science qui évolue avec son temps.
Introduction & langage C
Matériel, système d'exploitation, langages & binaire, compilation en 3 étapes, types et opérateurs — puis les bases du C.
Rappels essentiels
Ensembles de nombres, fractions & identités remarquables, fonctions affines, second degré (discriminant), valeur absolue, inéquations.
Nombres complexes
Le nombre \(i\) tel que \(i^2=-1\), forme algébrique, plan complexe, conjugué, et calculs (somme, produit, quotient).
Langage mathématique
La boîte à outils commune à toutes les mathématiques : parler des ensembles, compter, raisonner avec la logique, et prouver rigoureusement.
1.1Ensembles & dénombrement
Comment décrire des collections d'objets et les compter.
Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments. On note les ensembles avec des majuscules \(A,B,E\dots\) On écrit \(x\in A\) (« \(x\) appartient à \(A\) ») et \(x\notin A\) sinon. Deux descriptions : en extension \(A=\{1,2,\text{vert}\}\), ou en compréhension \(C=\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\ge 1\}\).
Ensembles de nombres usuels : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\). L'ensemble vide \(\varnothing\) ne contient aucun élément.
\(A\subset B\) signifie : tout élément de \(A\) est aussi élément de \(B\). On dit que \(A\) est un sous-ensemble (ou une partie) de \(B\). On a toujours \(\varnothing\subset A\) et \(A\subset A\). Égalité : \(A=B \iff (A\subset B \text{ et } B\subset A)\).
\(\in\) relie un élément à un ensemble ; \(\subset\) relie deux ensembles. Ainsi \(2\in\{1,2,3\}\) (vrai) mais \(\{2\}\subset\{1,2,3\}\) (vrai) tandis que \(2\subset\{1,2,3\}\) n'a pas de sens (\(2\) n'est pas un ensemble). Attention aussi : \(\varnothing\in\{\varnothing\}\) et \(\varnothing\subset\{\varnothing\}\) sont tous deux vrais.
Opérations sur les ensembles
- Union \(A\cup B=\{x\mid x\in A \text{ ou } x\in B\}\) (« ou » inclusif).
- Intersection \(A\cap B=\{x\mid x\in A \text{ et } x\in B\}\).
- Complémentaire \(\overline{A}\) (dans un ensemble de référence) : les \(x\) qui ne sont pas dans \(A\).
- Produit cartésien \(A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}\) : ensemble de couples ordonnés. En général \(A\times B\neq B\times A\).
De Morgan : \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\) et \(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\). Distributivité : \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\).
Dénombrement
Le cardinal \(\operatorname{card}(A)\) (ou \(|A|\)) est le nombre d'éléments de \(A\).
- Formule du crible : \(\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}A+\operatorname{card}B-\operatorname{card}(A\cap B)\).
- Produit : \(\operatorname{card}(A\times B)=\operatorname{card}A\times\operatorname{card}B\).
- Nombre de parties : un ensemble à \(n\) éléments possède \(2^{n}\) sous-ensembles.
- Combinaisons : le nombre de parties à \(k\) éléments est \(\displaystyle\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\).
\(\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{\,n-k}\). Astuce de calcul : \(1001^{3}=(1000+1)^3\), \(999^{4}=(1000-1)^4\).
1.2Propositions & tables de vérité
Le calcul du vrai et du faux.
Une proposition est une phrase mathématique correcte qui est soit vraie (V), soit fausse (F) — jamais les deux, jamais « subjective ». Ex. \(P:\ 4\ge 7\) (fausse).
Connecteurs logiques
| P | Q | ¬P | P ∧ Q | P ∨ Q | P ⇒ Q | P ⇔ Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | V | V | V | V |
| V | F | F | F | V | F | F |
| F | V | V | F | V | V | F |
| F | F | V | F | F | V | V |
\(\wedge\) = ET, \(\vee\) = OU (inclusif), \(\neg\) = NON. Le OU exclusif \(A\oplus B\) est vrai quand exactement un des deux est vrai : \(A\oplus B=(A\vee B)\wedge\neg(A\wedge B)\) — c'est l'addition des bits (\(1{+}1=0\)).
\(P\Rightarrow Q\) est fausse dans un seul cas : \(P\) vraie et \(Q\) fausse. Donc « \(P\) faux » rend l'implication vraie automatiquement. Sa négation : \(\neg(P\Rightarrow Q)=P\wedge\neg Q\). Sa contraposée \(\neg Q\Rightarrow\neg P\) lui est équivalente ; sa réciproque \(Q\Rightarrow P\) ne l'est pas.
\(\neg(P\wedge Q)=\neg P\vee\neg Q\) et \(\neg(P\vee Q)=\neg P\wedge\neg Q\).
1.3Variables & quantificateurs
\(\forall\) = « pour tout », \(\exists\) = « il existe (au moins un) ». Ex. « tout réel a un carré positif » : \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\ge 0\).
On échange \(\forall\leftrightarrow\exists\) et on nie l'intérieur : \(\neg\big(\forall x,\,P(x)\big)=\exists x,\ \neg P(x)\) ; \(\neg\big(\exists x,\,P(x)\big)=\forall x,\ \neg P(x)\).
\(\forall x\,\exists y\) (le \(y\) peut dépendre de \(x\)) est différent de \(\exists y\,\forall x\) (un même \(y\) marche pour tous). Ex. « tout entier a un successeur » \(\forall n\,\exists m,\ m>n\) est vrai, mais « il existe un entier plus grand que tous » \(\exists m\,\forall n,\ m>n\) est faux.
1.4Techniques de preuve
Preuve directe
On part des hypothèses et on déduit la conclusion par implications successives.
Par contraposée
Pour \(P\Rightarrow Q\), on prouve \(\neg Q\Rightarrow\neg P\) (équivalent, souvent plus simple).
Par l'absurde
On suppose la négation de ce qu'on veut, et on aboutit à une contradiction.
Par contre-exemple
Pour réfuter un « \(\forall\) », un seul cas qui échoue suffit.
Pour prouver \(P(n)\) pour tout \(n\ge n_0\) : (1) Initialisation — \(P(n_0)\) est vraie ; (2) Hérédité — on suppose \(P(n)\) vraie et on montre \(P(n{+}1)\). Alors \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\ge n_0\).
→ Passe aux 30 exercices corrigés du chapitre 1.
Exercices — Langage mathématique
Cherche d'abord, coche quand c'est fait, puis déplie le corrigé. Les exercices suivent le polycopié (Ensembles → Logique → Quantificateurs → Preuves).
Suites numériques
Une suite associe à chaque entier \(n\) un réel \(u_n\). On étudie leur comportement : bornées ? monotones ? et surtout, vers quoi tendent-elles ?
2.1Définitions, majoration, monotonie
Une suite réelle \((u_n)_{n\ge 0}\) est une fonction de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\). On peut la définir explicitement (\(u_n=n^2\)) ou par récurrence (\(u_0=1,\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\)).
\((u_n)\) est majorée s'il existe \(M\) avec \(u_n\le M\) pour tout \(n\) ; minorée s'il existe \(m\) avec \(u_n\ge m\) ; bornée si les deux (⇔ \(\exists K,\ |u_n|\le K\)). Elle est croissante si \(u_{n+1}\ge u_n\) pour tout \(n\), décroissante si \(u_{n+1}\le u_n\), monotone si l'un des deux.
Étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\) ; ou, si les termes sont \(>0\), comparer \(u_{n+1}/u_n\) à \(1\) ; ou étudier une fonction \(f\) telle que \(u_n=f(n)\).
2.2Notation somme \(\sum\)
\(\displaystyle\sum_{k=p}^{q}a_k = a_p+a_{p+1}+\dots+a_q\). L'indice \(k\) est muet.
Linéarité : \(\displaystyle\sum(\lambda a_k+\mu b_k)=\lambda\sum a_k+\mu\sum b_k\). En revanche \(\sum a_kb_k\neq(\sum a_k)(\sum b_k)\) en général.
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2\), \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}r^{k}=\frac{1-r^{\,n+1}}{1-r}\ (r\neq 1)\).
2.3Suites arithmétiques & géométriques
Arithmétique (raison \(r\))
\(u_{n+1}=u_n+r\) ⟹ \(u_n=u_0+nr\).
Somme : \(\dfrac{(\text{1er}+\text{dernier})\times\text{nb termes}}{2}\).
Géométrique (raison \(q\))
\(u_{n+1}=q\,u_n\) ⟹ \(u_n=u_0\,q^{n}\).
Somme : \(u_0\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}\).
Pour \(u_{n+1}=a\,u_n+b\), on cherche le point fixe \(\ell=a\ell+b\) puis \(v_n=u_n-\ell\) est géométrique de raison \(a\).
2.4Limites
\(u_n\to \ell\) signifie : \(\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall n\ge N,\ |u_n-\ell|<\varepsilon\). \(u_n\to+\infty\) : \(\forall A>0,\ \exists N,\ \forall n\ge N,\ u_n>A\).
Convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge (idem décroissante minorée). Gendarmes : si \(a_n\le u_n\le b_n\) et \(a_n,b_n\to\ell\), alors \(u_n\to\ell\).
Croissances comparées : pour tout \(a>1\) et tout \(d\), \(\dfrac{n^{d}}{a^{n}}\to 0\) (l'exponentielle l'emporte). Pour un quotient de polynômes, le terme de plus haut degré domine.
\(\infty-\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(0\times\infty\), \(\frac{0}{0}\) : il faut lever l'indétermination (factoriser le terme dominant, ou multiplier par la quantité conjuguée pour \(\sqrt{n^2+3}-n\)).
→ Passe aux 19 exercices corrigés du chapitre 2.
Exercices — Suites numériques
Cherche, coche, puis déplie le corrigé. Suit le polycopié (définitions → \(\sum\) → arithm./géom. → limites).
Penser en économiste
Une science en mouvement. Partir des problèmes de notre temps — climat, inflation, mondialisation, salaires — pour acquérir les outils de pensée des économistes.
01Ouverture : quatre questions
Le cours part de quatre grandes questions, chacune renvoyant à un chapitre :
- Qui paie pour la chaleur ? Canicules, pollution, climat : le marché peut-il gérer ce qu'il ne fait pas payer ? ch.2
- Pourquoi les prix remontent en 2026, et pourquoi les salaires ne suivent pas ? ch.3
- Les droits de douane protègent-ils les travailleurs ? Qui gagne, qui perd à la mondialisation ? ch.4
- Qu'est-ce qu'une entreprise, et comment se fixent les salaires ? ch.5
Keynes (1936) compare les marchés financiers à un concours où il faut deviner le choix des autres. Un raisonnement « parfaitement rationnel » mène à jouer 0 — mais presque personne ne le fait. On gagne en anticipant jusqu'où les autres raisonnent : un modèle repose sur des hypothèses de comportement qu'il faut confronter aux données (Nagel, 1995).
02Qu'est-ce que l'économie ?
Robbins, 1932
Une méthode : la science des choix sous contrainte de rareté — un individu face à des fins et des moyens rares à usages alternatifs.
CORE, 2017
Un objet : la façon dont les individus interagissent entre eux et avec la nature pour produire leurs moyens d'existence.
Les deux ne s'opposent pas : c'est l'accent qui change (retour aux interactions, aux inégalités, à la nature), en réponse aux enjeux de chaque époque — 2008, climat, économie comportementale.
Rareté : les ressources (temps, travail, énergie, budget) sont limitées face aux usages voulus. Coût d'opportunité : ce à quoi on renonce pour un choix — la valeur de la meilleure option abandonnée. Une soirée de révisions « coûte » le salaire du job auquel on renonce. Trois questions que toute société tranche : quoi produire ? comment ? pour qui ?
L'économie (ménages, entreprises, État) est nichée dans la société, elle-même dans la biosphère : elle prélève des ressources et rejette des déchets. Ce que le marché ne fait pas payer (pollution) est au cœur du ch.2.
Micro vs Macro
Micro : ménages/entreprises sur des marchés particuliers (loyers à Paris). Macro : phénomènes globaux (inflation, chômage, PIB).
Positif vs Normatif
Positif : décrit ce qui est, confrontable aux faits. Normatif : dit ce qui devrait être — dépend de valeurs.
03La boîte à outils : 7 outils
- Arbitrages & coût d'opportunité — la frontière des possibilités de production (FPP) : concave (coût d'opportunité croissant), déplacée par l'innovation. Dit le possible, pas le souhaitable.
- Raisonner à la marge — comparer le bénéfice et le coût d'une unité de plus. On continue tant que bénéfice marginal > coût marginal.
- Les incitations… et leurs limites — ce qui change coûts/bénéfices change les comportements ; mais une incitation peut se retourner (l'amende de la crèche de Haïfa a augmenté les retards).
- L'échange & la spécialisation — l'avantage comparatif (Ricardo, 1817) rend l'échange gagnant, même si l'un est meilleur en tout ; mais gains globaux ≠ gains pour chacun.
- Les prix coordonnent — ils transmettent l'information (la « main invisible », Smith 1776) — sous conditions (concurrence, information, pas d'externalités).
- Quand le marché échoue — externalités, biens publics, pouvoir de marché, information imparfaite ⟹ rôle de l'État (qui peut aussi échouer).
- Le tout ≠ la somme des parties — paradoxe de l'épargne (Keynes) : si tous épargnent plus, la demande baisse et l'épargne totale peut ne pas monter.
04Comment les économistes savent-ils ?
Représentation simplifiée fondée sur des hypothèses. Un plan de métro est « faux » et c'est pour ça qu'il est utile. Ceteris paribus : on fait varier un facteur à la fois. Il n'y a pas un modèle vrai mais des modèles adaptés au contexte.
Démarche scientifique : hypothèses → prédictions → confrontation aux données. Popper (1934) : une théorie doit pouvoir être réfutée ; elle n'est jamais « vérifiée », seulement corroborée.
Plus de ventes de glaces et plus de noyades : un tiers facteur (la chaleur) cause les deux. Pour trouver des causes : expériences et « expériences naturelles » — Card & Krueger (1994) : hausse du salaire minimum au New Jersey sans baisse de l'emploi. Nobel 2019 (Duflo…) et 2021 (Card, Angrist, Imbens).
Pourquoi des désaccords ? valeurs différentes (normatif), modèles différents, ou données insuffisantes. Un désaccord signale où la connaissance est incertaine — il existe aussi de larges consensus sur des questions positives.
05Une science qui change avec son temps
- 1776 Smith — division du travail, « main invisible » (révolution industrielle).
- 1817 Ricardo — avantage comparatif, libre-échange.
- 1870 Marginalistes (Jevons, Menger, Walras) — la valeur vient de l'utilité à la marge ; l'analyse se mathématise.
- 1936 Keynes — sous-emploi durable, l'État doit agir ; invention du PIB (Kuznets).
- 1970 Friedman, Lucas — stagflation, monnaie & anticipations ⟹ banques centrales indépendantes.
- 2002+ Kahneman, Thaler — économie comportementale.
- 2008 Crise financière — la finance revient au cœur de la macro.
- 2013+ Piketty (inégalités), Nordhaus (climat, 2018), Acemoglu (institutions, 2024), Aghion (innovation, 2025).
La crise de la réplication (36 % des études en psycho répliquées ; une étude sur l'honnêteté rétractée en 2021). Réponses : partage des données/codes, pré-enregistrement, réplications. Ce qui fait une science, ce n'est pas d'avoir toujours raison, c'est d'avoir des procédures pour détecter ses erreurs.
→ Va à la fiche de synthèse & au quiz pour mémoriser.
Fiche de synthèse & quiz
L'essentiel du chapitre 1 en une page, plus la boîte à outils quantitative et un test « positif ou normatif ».
- L'économie étudie les choix sous contrainte de rareté et les interactions entre individus et avec la nature.
- Elle raisonne avec des outils (coût d'opportunité, marge, incitations, échange, prix, défaillances, agrégation) dont la validité dépend de conditions.
- Elle construit des modèles, simplifications utiles confrontées aux données ; corrélation ≠ causalité.
- Elle distingue le positif (ce qui est) du normatif (ce qui devrait être).
- C'est une science dynamique : ses outils changent avec les problèmes de chaque époque, et elle se corrige.
Vocabulaire à connaître
Coût d'opportunité
Valeur de la meilleure option à laquelle on renonce.
FPP
Combinaisons de productions atteignables ; concave ⟹ coût d'opportunité croissant.
Externalité
Effet (pollution) subi par un tiers sans compensation ⟹ défaillance de marché.
Avantage comparatif
On se spécialise dans ce qu'on fait au moindre coût d'opportunité (Ricardo).
Ceteris paribus
« Toutes choses égales par ailleurs » : un facteur varie à la fois.
Réfutabilité (Popper)
Une théorie scientifique doit pouvoir être contredite par les faits.
Annexe — boîte à outils quantitative
Taux de variation : \(\dfrac{\text{arrivée}-\text{départ}}{\text{départ}}\times100\). De 50 à 55 € : \(+10\%\).
Points de % ≠ taux : une inflation qui passe de 2 % à 3 % augmente de 1 point (et de 50 % en taux !).
Indice base 100 : \(I_t=100\times\dfrac{x_t}{x_0}\). Un indice 112 = +12 % depuis l'année de base.
Attention : \(+10\%\) puis \(-10\%\) ne reviennent pas au départ (\(1{,}1\times0{,}9=0{,}99\)).
Pente \(=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) : variation de \(y\) quand \(x\) augmente de 1. Positive ⟹ croissante. Une droite \(y=ax+b\) a une pente constante \(a\).
Identités : \((x\pm y)^2=x^2\pm 2xy+y^2\), \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\). Puissances : \(x^{a}x^{b}=x^{a+b}\), \((x^a)^b=x^{ab}\), \(x^{-n}=\tfrac{1}{x^n}\), \(\sqrt{x}=x^{1/2}\).
Quiz express — Positif ou Normatif ?
Clique sur ta réponse.
Introduction : de la machine au programme
Comment un ordinateur exécute un programme, et pourquoi on a besoin d'un langage comme le C. Ce chapitre reprend la première séance (18/09).
Enseignement cumulatif : chaque séance s'appuie sur les précédentes — travaille régulièrement et reprends le cours après chaque séance.
TP : sur les machines de la salle, avec des identifiants dédiés (reçus par mail), différents de ceux de l'université. Sur ta machine perso, il faut installer le compilateur et la bibliothèque utilisée en cours (les environnements en ligne ne conviennent pas).
Évaluation : un examen final + du contrôle continu — une interrogation écrite (sur papier, sans documents) et des tests en ligne faits en TP (on garde les meilleures notes). L'assiduité compte. (Modalités chiffrées exactes à confirmer avec l'enseignant.)
1.1Logiciel & matériel
Les mots logiciel, programme, code et application désignent à peu près la même chose : un ensemble d'instructions. Un ordinateur, c'est du matériel (physique, électronique) piloté par des logiciels.
1.2L'architecture matérielle
Un ordinateur repose sur trois grands éléments, reliés par un bus qui les fait communiquer :
Le processeur (CPU)
Le « cerveau » : il exécute les traitements (les calculs, l'exécution du programme).
La mémoire
Elle stocke les données et les programmes.
Périphériques d'entrée
Clavier, souris… : faire entrer de l'information dans l'ordinateur.
Périphériques de sortie
Écran, imprimante… : faire sortir de l'information vers l'utilisateur.
Exécuter un programme, c'est le processeur qui lit des données en mémoire, les traite, et peut envoyer une information vers une sortie (ex. un affichage à l'écran) ou en recevoir d'une entrée.
1.3Le système d'exploitation (OS)
Le système d'exploitation est une couche logicielle intermédiaire entre le matériel et les logiciels/l'utilisateur. Son rôle : faciliter les interactions et faire le passage matériel ⇄ logiciel (ex. un affichage demandé par un programme passe par l'OS jusqu'au matériel).
Exemples : Windows, macOS, Linux (famille Unix, « nix ») — en TP, on travaille sous Linux. Les différentes versions d'un OS (ou d'un logiciel) offrent les mêmes fonctionnalités, seulement présentées différemment — comme deux navigateurs (Firefox / Chrome) ou deux traitements de texte (Word / LibreOffice).
Matériel → Système d'exploitation → Logiciels / programmes
1.4Langages & binaire
Le matériel ne comprend que le binaire : la base 2, uniquement des 0 et des 1. Toute donnée y est une suite de bits (1 octet = 8 bits). L'hexadécimal (base 16 : 16 symboles, 0–9 puis A–F) sert à écrire ce binaire de façon plus compacte.
Un programme est une suite d'instructions (des ordres) exécutées en séquence. L'humain les écrit dans un langage de programmation lisible ; comme la machine ne comprend que le binaire, il faut une traduction vers le langage machine — exactement comme un traducteur entre deux langues.
1.5Le langage C
Créé dans les années 1970, le C est encore aujourd'hui très utilisé. Ses caractéristiques :
- Impératif : un programme = une suite d'instructions (ordres) exécutées dans l'ordre.
- Structuré : instructions de base + alternatives (conditions) + répétitions (boucles).
- Procédural : on découpe le programme en fonctions (sous-problèmes) pour gérer la complexité et éviter des « kilomètres d'instructions ».
- Fortement typé (voir §1.9).
- Bas niveau / proche de la machine : rapide et économe en mémoire — utile pour les systèmes embarqués, et bonne pratique (moins de mémoire = moins d'énergie).
En 2e année, tu verras un langage d'une autre famille (non impératif).
1.6De la source à l'exécutable : la compilation
Le programme que tu écris s'appelle le code source, enregistré dans un fichier .c (ex. test.c). Le processeur ne comprend pas ce source : il faut le traduire en code machine. Cette traduction est la compilation, réalisée par un programme : le compilateur. Elle se fait en 3 étapes :
- Pré-processeur — traite les directives commençant par
#(comme#include) et enrichit le code en y ajoutant des instructions rangées ailleurs (les bibliothèques).#include <…>est un ordre : « inclus ce code externe ». - Compilation (traduction) — traduit le code enrichi en langage machine.
- Édition de liens (linking) — relie les morceaux (ton code + le code inclus) pour produire l'exécutable final.
test.c → pré-processeur → compilation → édition de liens → exécutable
En TP, l'IDE fournit des boutons : Compiler, Construire (édition de liens) et Exécuter.
1.7Les erreurs & les tests
Erreur de compilation
Erreur de syntaxe : le compilateur indique la ligne et le type d'erreur. Tant qu'il en reste, pas d'exécutable — on corrige puis on recompile.
Erreur d'exécution
Le programme compile, mais ne fait pas ce qui est demandé : la solution est mal conçue.
Recompiler après correction : si tu corriges le code sans recompiler, tu relances l'ancien exécutable.
Tester : un résultat qui s'affiche n'est pas forcément le bon — vérifie-le (la somme de 2 et 3 doit donner 5).
écrire → enregistrer → compiler → construire → exécuter → tester → corriger
1.8Structure minimale d'un programme
À faire systématiquement avant d'écrire quoi que ce soit : poser le squelette, puis enregistrer en .c. Attention aux accolades { } : chaque ouverture doit être refermée (source d'erreurs classique).
structure minimale
1.9Variables & types
Déclarer une variable, c'est lui donner un type. Le type détermine trois choses : (1) la place mémoire occupée (en octets), (2) la plage de valeurs possibles, (3) les opérations autorisées. Tout est stocké en binaire, et la mémoire a une capacité limitée.
int
Un entier. Plage de valeurs bornée (selon la place mémoire).
float / double
Des décimaux (« flottants »). double occupe plus de place ⟹ plus de précision.
char
Un caractère, qui a en réalité une valeur entière (code ASCII).
bool
Un booléen : seulement 2 valeurs, vrai ou faux (1 ou 0 en C).
Choisir le bon type dépend du problème : pour un programme bancaire, le solde est un décimal (double) ; un montant retiré au distributeur est un entier (int).
déclarations.c
1.10Les opérateurs
- Arithmétiques :
+ − * /et le modulo%(le reste). Ils s'appliquent aux entiers et aux flottants — sauf%, réservé aux entiers. - Comparaison :
<,>,<=,>=,==(égalité, deux signes),!=(différent). On écrit<=comme on le dit (« inférieur ou égal »), pas le symbole ≤ des maths. - Logiques (booléens) : et, ou, non — syntaxe
&&,||,!(détaillée plus tard).
Entre deux entiers, la division s'arrête : elle donne un quotient entier, et le reste est le modulo. Ainsi 17 / 5 = 3 et 17 % 5 = 2. Surtout : 5 / 2 = 2 (et non 2.5 !). Pour un résultat décimal, il suffit qu'un opérande soit décimal : 5.0 / 2 = 2.5. Et jamais de division par 0.
= n'est pas === seul est l'affectation (« range cette valeur dans la variable ») ; == est la comparaison d'égalité. Les confondre est une erreur très fréquente.
division.c
Un char a une valeur entière (sa position dans la table ASCII). On peut donc lui appliquer de l'arithmétique : si 'a' vaut 97, alors 'a' + 1 vaut 98 = 'b' (le caractère suivant). Autre repère : 'A' vaut 65.
ascii.c
→ Teste-toi avec le QCM du chapitre 1.
Exercices — Notions & compilation
Des questions courtes pour vérifier que le cours d'introduction est bien assimilé. Réponds mentalement, puis déplie le corrigé.
Les bases du langage C
Écrire, lire, tester des conditions, répéter, découper en fonctions, manipuler des tableaux. Les briques pour construire de vrais programmes.
Ce chapitre est un aperçu standard L1 (pas encore vu en cours) : il anticipe les prochaines séances pour que tu puisses t'exercer. Je le remplacerai par ton cours réel au fur et à mesure.
2.1Afficher & lire — printf / scanf
printf affiche, scanf lit au clavier. Chacun utilise des formats : %d (int), %f (float), %lf (double), %c (char), %s (chaîne). \n = retour à la ligne.
&Dans scanf, on met & devant la variable (scanf("%d", &age);) : on donne l'adresse où ranger la valeur lue. L'oublier est l'erreur n°1 des débutants.
2.2Conditions
On exécute du code selon qu'une condition est vraie : if / else if / else. Pour tester une variable contre plusieurs valeurs, switch.
conditions.c
2.3Boucles
for
Quand on connaît le nombre de tours : for(init ; condition ; pas).
while
Tant qu'une condition reste vraie (test avant).
do…while
Comme while, mais exécuté au moins une fois (test après).
break / continue
break sort de la boucle ; continue saute au tour suivant.
boucles.c — somme de 1 à n
2.4Fonctions
Une fonction est un bloc de code réutilisable qui reçoit des paramètres et renvoie une valeur (return). En C, les arguments sont passés par valeur (copie) : modifier le paramètre ne change pas la variable d'origine.
fonctions.c
2.5Tableaux & chaînes de caractères
Un tableau range plusieurs valeurs du même type. Les indices vont de 0 à taille−1. Une chaîne est un tableau de char terminé par le caractère nul '\0'.
tableaux.c — moyenne des éléments
C ne vérifie pas les indices : écrire dans t[10] d'un tableau de taille 10 (indices 0→9) provoque un comportement indéfini. Reste toujours dans les bornes.
2.6Introduction aux pointeurs
Un pointeur contient l'adresse d'une variable. &x = « adresse de x » ; *p = « la valeur pointée par p » (déréférencement). C'est ce qui permet à une fonction de modifier une variable de l'appelant (passage par adresse) — et ça explique le & de scanf !
pointeurs.c — échanger deux valeurs
→ Passe aux 12 programmes corrigés pour t'entraîner.
Exercices — Programmes en C
Écris le programme toi-même d'abord (sur papier ou dans l'IDE), puis déplie le corrigé pour comparer. Chaque corrigé est un programme complet et compilable.
Chapitre 0 — Rappels essentiels
La base indispensable pour tout le semestre : nombres, calcul algébrique, fonctions affines et second degré. À maîtriser parfaitement.
1Ensembles de nombres
- Entiers naturels \(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}\) : les nombres pour compter.
- Entiers relatifs \(\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\) : les naturels et leurs opposés.
- Rationnels \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\ \middle|\ p\in\mathbb{Z},\ q\in\mathbb{Z}^*\right\}\) : les quotients de deux entiers (\(q\neq 0\)).
- Réels \(\mathbb{R}\) : les rationnels et les irrationnels (comme \(\sqrt{2}\), \(\pi\)).
\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\). Exemples : \(\tfrac{10}{2}=5\in\mathbb{N}\) mais \(\tfrac{10}{3}\notin\mathbb{N}\) ; \(-\tfrac13\in\mathbb{Q}\) ; \(\sqrt2\notin\mathbb{Q}\).
Intervalles
Pour \(a\le b\) réels : \([a;b]\) (fermé, bornes comprises), \(]a;b[\) (ouvert, bornes exclues), \([a;b[\) et \(]a;b]\) (semi-ouverts). Non bornés : \([a;+\infty[\), \(]-\infty;b]\), etc. Pour des entiers, \([\![m;p]\!]=\{m,m+1,\dots,p\}\).
Exemples : \(-0{,}3\in\,]{-}1;1[\) et \(2\in[0;2]\) mais \(2\notin[0;2[\).
2Calculs & manipulations
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}\) ; \(\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\) ; \(\dfrac{\,a/b\,}{\,c/d\,}=\dfrac{ad}{bc}\) (\(b,d\neq0\)).
Degré 2 : \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) ; \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) ; \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
Degré 3 : \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) ; \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\).
Pour \(a\ge0\), \(\sqrt a\) est l'unique nombre positif tel que \((\sqrt a)^2=a\). On a \(\sqrt a\,\sqrt b=\sqrt{ab}\) et \(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\tfrac ab}\).
Pour simplifier \(\dfrac{1}{a+\sqrt b}\), on multiplie haut et bas par le conjugué \(a-\sqrt b\) : \(\dfrac{1}{a+\sqrt b}=\dfrac{a-\sqrt b}{a^2-b}\).
3Fonctions affines
Une fonction affine s'écrit \(f(x)=ax+b\) (\(a,b\) réels). Sa courbe est la droite d'équation \(y=ax+b\) : \(a\) est la pente, \(b\) l'ordonnée à l'origine.
Variations : \(f\) est croissante si \(a\gt0\), décroissante si \(a\lt0\), constante si \(a=0\).
4Polynômes du second degré
Un trinôme est \(P(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq0\). Il s'écrit sous forme canonique \(P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta=P(\alpha)\).
\(\Delta=b^2-4ac\). Le nombre de racines de \(ax^2+bx+c=0\) en dépend :
- \(\Delta\lt0\) : aucune racine réelle.
- \(\Delta=0\) : une racine double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\).
- \(\Delta\gt0\) : deux racines \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\).
Factorisation : si \(\Delta\gt0\), \(P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) ; si \(\Delta=0\), \(P(x)=a(x-x_0)^2\).
Signe : \(P(x)\) est du signe de \(a\) partout, sauf entre les racines (quand \(\Delta\gt0\)) où il est du signe opposé. « Signe de \(a\) à l'extérieur des racines. »
5Valeur absolue
\(|x|\) est la distance de \(x\) à 0 : \(|x|=x\) si \(x\ge0\), et \(|x|=-x\) si \(x\lt0\). Toujours \(|x|\ge0\). Ex. \(|-2|=2\), \(|3|=3\).
6Inéquations
Résoudre \(f(x)\le g(x)\) revient à résoudre \(f(x)-g(x)\le0\) : on se ramène à étudier un signe.
Signe d'un produit
Étudier le signe de chaque facteur, les ranger dans un tableau (valeurs qui les annulent, croissantes), puis appliquer la règle des signes.
Signe d'un quotient
Idem, mais repérer d'abord les valeurs interdites (qui annulent le dénominateur) — elles sont exclues.
→ Passe aux 12 exercices corrigés du chapitre.
Exercices — Rappels
Les exercices du poly (les « Exemples ») avec corrigés détaillés. Cherche d'abord, puis déplie.
Fonctions : bijection, variations, parité
Les grandes propriétés d'une fonction réelle : quand peut-on « l'inverser », comment décrire ses variations, et les symétries qui divisent le travail par deux.
1.1Injective, surjective, bijective
Trois façons de compter les antécédents.
\(f:E\to F\) est injective si deux éléments distincts ont des images distinctes : chaque \(y\) a au plus un antécédent. De façon pratique : \(f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\).
\(f:E\to F\) est surjective si tout \(y\in F\) a au moins un antécédent : l'ensemble d'arrivée est entièrement atteint. Autrement dit \(\forall y\in F,\ \exists x\in E,\ f(x)=y\).
Bijective = injective et surjective ⟺ tout \(y\in F\) a exactement un antécédent.
L'injectivité et la surjectivité dépendent des ensembles de départ et d'arrivée, pas seulement de la formule. Ex. \(x\mapsto x^2\) de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) n'est ni injective (\(-2\) et \(2\) donnent \(4\)) ni surjective (\(-4\) n'a pas d'antécédent). En la restreignant à \(\mathbb R_+\to\mathbb R_+\), elle devient bijective.
1.2Fonction réciproque
Si \(f:E\to F\) est bijective, il existe une unique fonction réciproque \(f^{-1}:F\to E\) qui à chaque \(y\) associe son unique antécédent. On a \(f^{-1}\big(f(x)\big)=x\) et \(f\big(f^{-1}(y)\big)=y\).
La courbe de \(f^{-1}\) est le symétrique de celle de \(f\) par rapport à la droite \(y=x\) (première bissectrice).
exp et ln
\(\exp:\mathbb R\to\mathbb R_+^*\) est bijective ; sa réciproque est \(\ln\). \(\ln(1)=0\), \(\ln(e)=1\).
carré et racine
\(x\mapsto x^2\) restreinte à \(\mathbb R_+\to\mathbb R_+\) est bijective ; sa réciproque est \(x\mapsto\sqrt x\). De même \(x^4\) ↔ racine 4\(^\text{e}\).
1.3Ensemble de définition
L'ensemble de définition \(D_f\) est l'ensemble des \(x\) pour lesquels \(f(x)\) a un sens (à distinguer de l'ensemble de départ, qu'on choisit).
Les trois réflexes à vérifier :
- un dénominateur ne doit pas être nul ;
- sous une racine carrée, l'expression doit être \(\ge 0\) ;
- dans un \(\ln\), l'argument doit être \(> 0\).
Ex. \(f(x)=\exp\!\big(\sqrt{x}\big)\) impose \(x\ge 0\), donc \(D_f=\mathbb R_+\).
1.4Courbe & repère
Dans un repère, un point \(M(x,y)\) : \(x\) est l'abscisse (horizontal), \(y\) l'ordonnée (vertical). Pour \(y=f(x)\) : \(x\) est un antécédent, \(y=f(x)\) son image.
La courbe \(\mathcal C_f\) est l'ensemble des points \(\big(x,f(x)\big)\) pour \(x\in D_f\). Son équation cartésienne est \(y=f(x)\).
Une équation relie géométrie et analyse : une propriété de la courbe (maximum, symétrie…) se traduit en propriété de la fonction, et réciproquement. Sache toujours visualiser une fonction, pas seulement l'écrire.
1.5Sens de variation
Sur un intervalle \(I\), \(f\) est croissante si \(x\le y\Rightarrow f(x)\le f(y)\) ; strictement croissante si \(x
Étudier le signe de la dérivée \(f'\) : \(f'\ge 0\) ⟹ croissante, \(f'\le 0\) ⟹ décroissante. Plus rapide : reconnaître des fonctions usuelles (\(\sqrt{\ },\exp\) croissantes) pour éviter de dériver.
Somme
\(f\) et \(g\) croissantes ⟹ \(f+g\) croissante.
Opposé
\(f\) croissante ⟹ \(-f\) décroissante.
Composée
Règle des signes : croissante∘croissante = croissante ; croissante∘décroissante = décroissante ; décroissante∘décroissante = croissante.
Constante
Une fonction à la fois croissante et décroissante est constante (\(f'=0\)).
1.6Parité
La parité n'a de sens que si \(D_f\) est symétrique par rapport à 0 : \(x\in D_f\Rightarrow -x\in D_f\) (ex. \(\mathbb R\), \([-2,2]\), \(\mathbb R^*\)).
Fonction paire
\(f(-x)=f(x)\) : courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées \((Oy)\). Ex. \(x^2\), \(\cos\).
Fonction impaire
\(f(-x)=-f(x)\) : symétrie centrale par rapport à l'origine \(O\). Ex. \(\tfrac1x\), \(x^3\), \(\sin\).
On étudie \(f\) sur \(\mathbb R_+\) seulement, puis on complète par symétrie : moitié moins de travail.
1.7Périodicité
\(f\) est périodique de période \(T>0\) si pour tout \(x\in D_f\), \(x+T\in D_f\) et \(f(x+T)=f(x)\). La courbe se répète tous les \(T\). Ex. \(\cos,\sin\) (période \(2\pi\)), \(\tan\) (période \(\pi\)).
On étudie alors \(f\) sur un intervalle de longueur \(T\), puis on translate le motif.
1.8Types de raisonnement
Récurrence
Initialisation \(P(n_0)\), puis hérédité \(P(n)\Rightarrow P(n{+}1)\).
Par l'absurde
On suppose le contraire et on aboutit à une contradiction (ex. \(\sqrt2\) irrationnel).
Par contraposée
Pour \(P\Rightarrow Q\), on prouve \(\neg Q\Rightarrow\neg P\) (équivalent).
Contre-exemple
Pour réfuter un « \(\forall\) », un seul cas qui échoue suffit.
→ Tout repose sur la démonstration : les propriétés s'utilisent tout de suite, les démonstrations se comprennent progressivement.
Limites & continuité
Ce que fait une fonction « au voisinage » d'un point ou à l'infini, et ce que garantit une fonction continue.
2.1Notion de limite
\(f(x)\xrightarrow[x\to a]{}\ell\) si pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(\alpha>0\) tel que : \(x\in D_f\) et \(0<|x-a|<\alpha\) \(\Rightarrow\) \(|f(x)-\ell|<\varepsilon\). (Pour \(+\infty\) : \(f(x)>M\) au lieu de \(|f(x)-\ell|<\varepsilon\).)
\(f(x)\to\ell\) en \(a\) \(\iff\) pour toute suite \(u_n\to a\), \(f(u_n)\to\ell\). Conséquence : tous les théorèmes sur les limites de suites (opérations, encadrement) restent valables pour les fonctions.
\(x\to a^+\) (\(x>a\)) et \(x\to a^-\) (\(x
2.2Continuité
\(f\) est continue en \(a\) si \(f(x)\xrightarrow[x\to a]{}f(a)\) ; continue sur \(I\) si continue en tout point. Image : une fonction qu'on trace sans lever le crayon. Les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition.
Si \(f\) (non définie en \(a\)) admet une limite finie \(\ell\) en \(a\), on la prolonge en posant \(\tilde f(a)=\ell\) : \(\tilde f\) est alors continue en \(a\).
2.3Théorème des valeurs intermédiaires
\(f\) continue sur \([a,b]\) : [Bolzano] si \(f(a)f(b)<0\), il existe \(c\in\,]a,b[\) avec \(f(c)=0\) ; [TVI] toute valeur entre \(f(a)\) et \(f(b)\) est atteinte.
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a,b]\), alors \(f:[a,b]\to[f(a),f(b)]\) est une bijection (chaque valeur a un unique antécédent).
Pour montrer que \(f(x)=b\) a une unique solution, on étudie \(g(x)=f(x)-b\) et on montre que c'est une bijection dont l'image contient 0 (via ses variations).
2.4Limites usuelles
\(\dfrac{e^x-1}{x}\to 1\) ; \(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\to 1\) ; \(\dfrac{\sin x}{x}\to 1\) ; \(\dfrac{\cos x-1}{x^2}\to -\dfrac12\). Aussi \(\tfrac1x\to\pm\infty\), \(\ln x\to-\infty\), \(x\ln x\to 0\).
L'exponentielle l'emporte sur la puissance, qui l'emporte sur le logarithme : pour \(\alpha>0,\ a>1\), \(x^\alpha a^{-x}\to 0\), \(\dfrac{a^x}{x^\alpha}\to+\infty\), \(\dfrac{\ln x}{x^\alpha}\to 0\).
2.5Composition de limites
Si \(\lim_{x\to a}f(x)=b\) et \(\lim_{x\to b}g(x)=\ell\), alors \(\lim_{x\to a}(g\circ f)(x)=\ell\). (On pose \(X=f(x)\) et on enchaîne.)
2.6Suites \(u_{n+1}=f(u_n)\)
• Si \(f\) est croissante et \(u_0\le u_1\) (resp. \(\ge\)), alors \((u_n)\) est croissante (resp. décroissante).
• Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\) et \(f\) est continue, alors \(\ell\) est un point fixe : \(f(\ell)=\ell\).
Dérivation
La pente instantanée d'une fonction : définition, calcul, et tout ce qu'elle révèle (variations, extrema, convexité).
3.1Nombre dérivé
Taux d'accroissement en \(a\) : \(\tau_a(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\). \(f\) est dérivable en \(a\) si \(\tau_a\) admet une limite finie en \(a\) ; cette limite est le nombre dérivé \(f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\).
Si \(f\) est dérivable en \(a\), elle y est continue. La réciproque est fausse : \(x\mapsto|x|\) est continue en 0 mais pas dérivable (taux \(=\pm1\) selon le côté). Une fonction dérivable à dérivée continue est de classe \(C^1\).
3.2Tangente & Taylor à l'ordre 1
\(f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+o(x-a)\). La tangente en \(a\) a pour équation \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\), de pente \(f'(a)\).
3.3Dérivées usuelles
\((x^b)'=bx^{b-1}\) ; \(\left(\tfrac1x\right)'=-\tfrac1{x^2}\) ; \((e^x)'=e^x\) ; \((a^x)'=\ln(a)\,a^x\) ; \((\ln x)'=\tfrac1x\).
\((\sin)'=\cos\) ; \((\cos)'=-\sin\) ; \((\tan)'=1+\tan^2=\tfrac1{\cos^2}\) ; \((\arctan)'=\tfrac1{1+x^2}\).
3.4Opérations sur les dérivées
\((\lambda u)'=\lambda u'\) ; \((u+v)'=u'+v'\) ; \((uv)'=u'v+uv'\) ; \(\left(\tfrac1v\right)'=-\tfrac{v'}{v^2}\) ; \(\left(\tfrac uv\right)'=\tfrac{u'v-uv'}{v^2}\).
Composée : \((v\circ u)'=(v'\circ u)\cdot u'\). Cas usuels : \((u^\alpha)'=\alpha u^{\alpha-1}u'\), \((\ln u)'=\tfrac{u'}{u}\), \((e^u)'=u'e^u\).
Réciproque : \((f^{-1})'(x)=\dfrac1{f'\big(f^{-1}(x)\big)}\).
3.5Applications
Rolle
\(f\) continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\), \(f(a)=f(b)\) ⟹ \(\exists c,\ f'(c)=0\).
Accroissements finis (TAF)
\(\exists c\in\,]a,b[,\ f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\).
Sur un intervalle : \(f'\ge0\iff f\) croissante ; \(f'\le0\iff\) décroissante ; \(f'=0\iff\) constante. Et \(f'>0\Rightarrow\) strictement croissante.
\(f\) est convexe \(\iff f'\) croissante \(\iff f''\ge0\) (concave : inégalités inversées).
\(a\) est un extremum local \(\iff f'(a)=0\) en changeant de signe. Contre-exemple : \(x^3\) a \(f'(0)=0\) mais pas d'extremum (le signe ne change pas). Aussi : inégalité des accroissements finis \(|f'|\le M\Rightarrow|f(b)-f(a)|\le M(b-a)\).
💡 La dérivée sert aussi à lever des indéterminations : reconnaître un taux d'accroissement (ex. \(\tfrac{\ln(1+x)}{x}=\tfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\to f'(0)=1\)).
Intégration
L'aire sous la courbe, les primitives, et les techniques pour calculer une intégrale.
4.1Intégrale & propriétés
Pour \(f\) continue sur \([a,b]\), \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) est l'aire algébrique (comptée négativement sous l'axe) entre \(\mathcal C_f\), l'axe des abscisses et \(x=a,\ x=b\).
\(\int_a^b=-\int_b^a\) ; linéarité \(\int(\lambda f+\mu g)=\lambda\int f+\mu\int g\) ; Chasles \(\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\) ; croissance \(f\le g\Rightarrow\int f\le\int g\) ; \(\left|\int f\right|\le\int|f|\).
Sur \([-a,a]\) : \(f\) paire \(\Rightarrow\int_{-a}^a=2\int_0^a\) ; \(f\) impaire \(\Rightarrow\int_{-a}^a=0\).
\(\displaystyle\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\!\left(a+k\tfrac{b-a}{n}\right)\xrightarrow[n\to\infty]{}\int_a^b f(t)\,dt\).
4.2Primitives & théorème fondamental
\(F\) est une primitive de \(f\) si \(F'=f\). Toutes les primitives de \(f\) sont les \(F+\lambda\), \(\lambda\in\mathbb R\).
Pour \(f\) continue : \(x\mapsto\int_a^x f(t)\,dt\) est la primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\), et \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)\). (Toute fonction continue admet une primitive.)
\(x^b\ (b\neq-1)\to\tfrac{x^{b+1}}{b+1}\) ; \(\tfrac1x\to\ln|x|\) ; \(e^x\to e^x\) ; \(\sin\to-\cos\) ; \(\cos\to\sin\) ; \(\tfrac1{1+x^2}\to\arctan\).
4.3Calculer une intégrale — dans l'ordre
1. Direct
Primitive usuelle, ou forme \(u'\,f'(u)\), ou fraction rationnelle → on intègre directement.
2. Parité
Fonction impaire sur \([-a,a]\) → l'intégrale vaut 0.
3. IPP
Produit dont dériver une partie simplifie : \(\displaystyle\int_a^b f'g=\big[fg\big]_a^b-\int_a^b f g'\).
4. Changement de variable
\(\displaystyle\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(t)\,dt\) (poser \(t=\varphi(x),\ dt=\varphi'(x)dx\)).
Pour \(\int\tfrac{P}{Q}\) (\(\deg P<\deg Q\), \(Q\) factorisé) : on décompose en éléments simples, puis on intègre des \(\ln\) (forme \(u'/u\)) et des \(\arctan\) (compléter le carré).
💡 Bien connaître les dérivées usuelles = savoir les primitives (on lit la table à l'envers). Ex. une primitive de \(\ln t\) est \(t\ln t-t\) (par IPP).
Développements limités
Approcher une fonction par un polynôme au voisinage d'un point — l'outil décisif pour lever les indéterminations de limite.
5.1Définition
\(f\) admet un \(DL_n(a)\) s'il existe un polynôme \(P_n\) (\(\deg\le n\)) et \(\varepsilon\to0\) tels que \(f(x)=P_n(x-a)+(x-a)^n\varepsilon(x-a)\). Le reste se note \(o\big((x-a)^n\big)\).
\(f=o(g)\) au voisinage de \(a\) si \(\dfrac{f}{g}\to0\). Ex. \(x^p=o(x^n)\) pour \(p>n\) (en 0). Le \(DL_n(a)\) est unique ; si \(f\) est paire (resp. impaire), sa partie polynomiale n'a que des monômes de degrés pairs (resp. impairs).
5.2Formule de Taylor
\(\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o\big((x-a)^n\big)\). En particulier à l'ordre 2 : \(f(a)+f'(a)(x-a)+\tfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2+o\big((x-a)^2\big)\). (L'ordre 1 = la tangente.)
5.3DL usuels à l'ordre 2 en 0
\(e^X=1+X+\tfrac{X^2}{2}+o(X^2)\)
\(\ln(1-X)=-X-\tfrac{X^2}{2}+o(X^2)\)
\(\dfrac1{1-X}=1+X+X^2+o(X^2)\)
\((1+X)^\alpha=1+\alpha X+\tfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}X^2+o(X^2)\)
\(\sin X=X+o(X^2)\) ; \(\cos X=1-\tfrac{X^2}{2}+o(X^2)\).
5.4Opérations sur les DL
Somme : on ajoute les parties polynomiales. Produit : on multiplie puis on tronque à l'ordre \(n\). Composition : on pose \(X=cx^d\) et on remplace. Quotient : via \(\tfrac1{1+u}=1-u+u^2-\dots\)
On manipule des DL de même ordre ; sinon c'est toujours le plus petit qui compte.
5.5Application au calcul de limites
On remplace chaque fonction par son DL au bon ordre pour lever l'indétermination. Ex. \(\dfrac{e^x-\cos x}{\ln(1+2x)}\to\dfrac12\) (ordre 1) ; \(\dfrac{e^{x^2}-\cos x}{x^2}\to\dfrac32\) (ordre 2 nécessaire).
💡 Si l'ordre 1 ne suffit pas (tout se simplifie), on monte à l'ordre 2, puis 3…
Nombres complexes
On étend les réels en inventant un nombre \(i\) dont le carré vaut \(-1\). Cours en amphi (pas de TD).
Ce cours est remis au propre à partir de tes notes manuscrites (OCR imparfait) : le contenu est standard et vérifié. Signale-moi toute différence avec ton poly.
1Définition
Un nombre complexe s'écrit \(z=a+ib\), où \(a,b\) sont deux réels et \(i\) est le nombre imaginaire vérifiant \(\boxed{i^2=-1}\).
\(a=\operatorname{Re}(z)\) est la partie réelle, \(b=\operatorname{Im}(z)\) la partie imaginaire (attention : \(b\) est réel !).
On note \(\mathbb{C}\) l'ensemble des nombres complexes. Tout réel est un complexe (\(7=7+0i\)), donc \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\). Un complexe de la forme \(z=ib\) (partie réelle nulle) est dit imaginaire pur. Exemples : \(2+3i\), \(-5i\), \(7\).
2Opérations
Égalité : \(a+ib=a'+ib' \iff a=a' \text{ et } b=b'\) (on identifie parties réelle et imaginaire).
Addition : \((a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b')\).
Multiplication : on développe en utilisant \(i^2=-1\) :
\[(a+ib)(a'+ib')=aa'-bb'+i(ab'+a'b).\]
\(i^2=-1\), \(\ i^3=i^2\cdot i=-i\), \(\ i^4=1\), puis le cycle recommence. Pour \(i^n\), on regarde \(n\bmod 4\). Ex. \(i^{2026}=i^{2}=-1\).
3Le plan complexe
On représente \(z=a+ib\) par le point \(M(a,b)\) dans un repère : \(M\) est l'image de \(z\), et \(z\) est l'affixe de \(M\). L'axe horizontal porte les réels, l'axe vertical les imaginaires purs.
4Le conjugué
Le conjugué de \(z=a+ib\) est \(\bar z=a-ib\) (symétrique de \(M\) par rapport à l'axe des réels).
\(\overline{z+z'}=\bar z+\bar z'\) ; \(\overline{z\,z'}=\bar z\,\bar z'\) ; et surtout \(z\,\bar z=a^2+b^2\) — un réel positif.
5Inverse & quotient
Pour écrire \(\dfrac{z}{z'}\) sous la forme \(a+ib\), on multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur (\(z'\bar{z'}\) devient réel).
Ex. \(\dfrac{1}{1-i}=\dfrac{1(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{1+i}{1^2+1^2}=\dfrac{1+i}{2}=\dfrac12+\dfrac12 i.\)
→ Passe aux 8 exercices corrigés.
Exercices — Nombres complexes
Entraîne-toi sur les opérations de base. Cherche, puis déplie le corrigé.